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5.4 적분 순서 바꾸기

$ D$가 유형 3이면, 두가지 형태로 쓸 수 있다.

$\displaystyle a\le x\le b,$   $\displaystyle \phi_1(x)\le y\le\phi_2(x),$  
$\displaystyle c\le y\le d,$   $\displaystyle \psi_1(y)\le x\le \psi_2(y).$  

따라서 다음 식을 얻는다.

$\displaystyle \iint_D f(x,y) dA=
\int_a^b\int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)}f(x,y) dy dx=
\int_c^d\int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)}f(x,y) dx dy.
$

Theorem 5 (이중 적분의 평군값 정리)   $ f:D^{\subset{\mathbb{R}}^2}\to{\mathbb{R}}$가 기본 영역 $ D$에서 연속이면 다음을 만족시키는 점 $ (x_0,y_0)$$ D$에 존재한다.

$\displaystyle \iint_D f(x,y) dA=f(x_0,y_0) A(D).
$

물론 $ A(D)$$ D$의 면적이다.




2001-06-15